本文摘要：摘要本文使用計算機MATLAB編程,用蒙特卡羅數值方法對正方形內任意兩點的平均距離、伽爾頓板、傳染病的傳播三種情況進行了模擬分析。其中,正方形內任意兩點的平均距離與伽爾頓板兩組實驗結果與常規實驗得到的結果相符合,從而驗證了蒙特卡羅方法在物理研究中是
摘要本文使用計算機MATLAB編程,用蒙特卡羅數值方法對“正方形內任意兩點的平均距離”、“伽爾頓板”、“傳染病的傳播”三種情況進行了模擬分析。其中,“正方形內任意兩點的平均距離”與“伽爾頓板”兩組實驗結果與常規實驗得到的結果相符合,從而驗證了蒙特卡羅方法在物理研究中是有效和可靠的數值方法。而后將這一方法用于分析“傳染病的傳播”問題中,蒙特卡羅數值模擬方法對于在不同條件下傳染病的擴散進行了分析。該模型對于對傳染病的防控措施具有一定的借鑒作用。
關鍵詞蒙特卡羅模擬;MATLAB;伽爾頓板;預測模型
蒙特卡羅(MonteCarlo)方法是一種以“隨機數”解決問題的方法,它利用隨機數進行統計實驗,以求得統計特征值作為待解決問題的數值解[1]。其廣泛應用于計算機仿真實驗得到相關數據,并分析以得到某些現象規律或者對問題進行求解[2]。可以把蒙特卡羅解題歸結為三個主要步驟:構造或描述概率過程;實現從已知概率分布抽樣;建立各種估計量。蒙特卡羅方法具有易于操控,方便快速,可應用范圍廣等優點。
隨著計算機技術的發展以及待解決問題的多樣性的提升,蒙特卡羅方法廣泛應用于經濟學[3,4],核物理[5,6],電子等領域[7,8]。文中使用MATLAB平臺進行蒙特卡羅模擬,MATLAB平臺計算能力強,操作靈活,具有程序結構性強,延展性好等優點[9]。并且MATLAB具有強大的隨機數發生器指令,這對蒙特卡羅模擬是十分重要的優點[10]。使用MATLAB進行蒙特卡羅模擬在很多方向取得了成果[11,12]。
本文對“正方形內任意兩點的平均距離”、“伽爾頓板”、“傳染病的傳播”三個問題進行了求解。“正方形內任意兩點的平均距離”問題可以通過傳統的數學方法求解,使用積分可以求得精確值,但計算較為復雜,有一定難度。通過蒙特卡羅方法求解快捷,簡單,得到的結果與數學計算所得結果偏差極小;通過實驗可知,伽爾頓板的實驗結果成正態分布。本文使用蒙特卡羅數值模擬方法模擬這一結果,并且分析了小球的初始下落位置對實驗的影響。
目前新冠肺炎病毒正在擴散,已有很多預測模型對“傳染病的傳播”問題進行了研究,本文使用蒙特卡羅數值模擬,參考了“不同人對病毒的免疫力”等影響因素,對病毒的擴散進行了分析,得到影響病毒擴散的一些重要因素。這些研究對于病毒擴散的防控措施具有借鑒意義。
1正方形內任意兩點的平均距離問題
在正方形內任意找兩個點,兩個點的之間有一個距離,當這兩個點遍歷這個正方形,兩點之間距離的平均值是多少?該問題可以用數學中四重積分求解。
2伽爾頓板
2.1什么是伽爾頓板
伽爾頓板是由豎直擺放的平整木板,在平板上鑲嵌的障礙物,如鐵釘,以及在平板下部用豎直隔板形成等寬的凹槽所構成。如果將小球從伽爾頓板的上方漏斗投入,則小球會由于與鐵釘的不停碰撞最終落在下方凹槽中的某一個。由于鐵釘是按照一定規律均勻鑲嵌的,所以小球最終落點是完全隨機的。此外,如果投入大量小球或者重復多次試驗可發現:落在下方兩側隔板的小球相對較少,落在中央隔板中的小球相對較多,小球的個數從中間凹槽向兩側逐漸減少,小球在凹槽中的分布符合正態分布。此實驗經常用于說明統計規律的必然性總是寓于大量的個別事件的偶然性之中,以及統計規律中出現的漲落現象[13]。由于伽爾頓板實驗具有隨機性和統計性,也可使用蒙特卡羅方法模擬該實驗。
2.2建立模型
小球從伽爾頓板上方投入,在伽爾頓板中與鐵釘接觸,發生碰撞并向兩側彈開并繼續下落,最終落入某一凹槽中。模型設定如下:(1)小球直徑小于伽爾頓板中任意兩鐵釘之間距離,保證小球落入下方凹槽;(2)鐵釘直徑無限小。兩層之間鐵釘位置相互交錯;(3)小球與鐵釘碰撞后向左右彈開概率均為50%;(4)小球與鐵釘碰撞后下次碰撞目標僅為緊靠該鐵釘左右兩側的下層鐵釘,如圖2中鐵釘A與鐵釘B、C;(5)小球接觸伽爾頓板兩側邊緣后向另一側方向反彈。
3傳染病的傳播
3.1新型冠狀病毒與傳染病
近期爆發的新型冠狀病毒肺炎具有較高的傳染性,如不及時醫治,病毒將會導致感染者組織和器官的損傷,甚至死亡。截止2020年3月,國內感染八萬余人,其中死亡三千余人,也給國家帶來了巨額損失。如能成功預測患病人數,則有利于資源的分配工作,并且有助于對傳染病傳染的控制,降低損失。預測技術于20世紀40年代被提出,現已成為了一門自成體系的學科,預測方法包括定性預測,綜合預測等方法[14]。本文在研究中參考了本次新型冠狀病毒肺炎的實例:攜帶口罩,減少人員流動,避免前往人流密集的地點等手段能有效防止傳染的發生。不同人對傳染的抵抗力不一樣,在早期傳染中,年輕人被感染的概率極低,也曾出現過自愈的情況等。通過設置參數,使本文模型更科學,可信度更高,更貼近實際數值,對于新冠病毒的防控具有一定的借鑒意義。
3.2建立模型
本節使用MATLAB建立模型,預測一段時間后總感染人數:(1)設置參數:設已感染傳染病的人數為x;每個傳染者遇到的未感染人數為N,N是一個隨機的參量;采取免疫措施的人數為D;預測感染時間為T后的總感染人數。在人群中存在兩種體制:易感染者a與不易感染者b,兩者對傳染病的抵抗力不同。(2)將參數賦值:設第一批已感染者為1人,x=1;傳染時間為7天,一個傳染周期為一天;每個感染者每天可能遇到的人數為N=8,10或12。且遇到這三種人數的概率相同;每天每人遇到采取預防措施人數D=2,則可傳染的最多人數為(N-D);易感人群a與不易感人群b分布為:7∶3。易感人群被傳染概率為80%,不易感人群被傳染概率為20%。
4結語
本文使用蒙特卡羅方法以及MATLAB編程,成功對“正方形內任意兩點的平均距離”、“伽爾頓板實驗”、“傳染病的被傳播人數的預測”三個課題進行了研究。在“正方形內任意兩點的平均距離”課題中,使用MATLAB編程求解的平均距離以及使用數學積分求解的精確平均距離之間的偏差小于2%,且當計算重復20000次以上時,精準度會進一步提升。相比于使用多重積分計算,使用蒙特卡羅方法求解操作難度較低,求解過程簡潔,求解效率更高;“伽爾頓板實驗”課題中,通過建立的模型,可以得到每顆小球的下落路線,還原真實的伽爾頓板實驗。
物理論文投稿刊物：《物理與工程》它的宗旨是面向全國大中專院校物理教師、廣大科技工作者和相關人員;交流物理教學經驗與教學研究成果;介紹與討論物理學及其他交叉學科的新發展、新動向及物理學前沿進展;介紹物理學在現代工程技術中的應用，旨在促進物理教學改革向縱深發展。
當投入多個小球時,分析落在凹槽內小球的個數可知:當小球初始下落位點為伽爾頓板中間點時,最終小球的分布為正態分布,模擬結果正確。當小球初始下落位點為任意位點時,最終小球分布呈現“初始下落位點對應凹槽內小球最多,并且向兩側凹槽內小球逐漸減少”的規律;“傳染病的被傳播人數的預測”模型中,將“傳染者可能遇到的人數”,“病毒對不同體質的人傳染概率不同”,“采取預防措施”等因素考慮在內,成功預測了在各條件下被傳染的人數。證明了采取預防措施能有效限制病毒的傳播,研究了傳染者接觸人數之間相差較大時對病毒傳播的影響。
參考文獻
[1]尹增謙,管景峰,張曉宏,等.蒙特卡羅方法及應用[J].物理與工程,2002(3):46-50.YINZQ,GUANJF,ZHANGXH,etal.Themontecarlomethodanditsapplication[J].PhysicsandEngineering,2002(3):46-50.(inChinese)
[2]王巖.MonteCarlo方法應用研究[J].云南大學學報(自然科學版),2006(S1):33-36.
作者：郭競達史旭光
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