本文摘要：摘要考慮一類(lèi)等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對(duì)其全局動(dòng)力學(xué)行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制.首先,考慮磁鐵位置可以移動(dòng),利用牛頓第二定律建立該磁力擺動(dòng)力學(xué)模型.進(jìn)而,分析不同的磁鐵位置所對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上,數(shù)值模擬初值敏感
摘要考慮一類(lèi)等邊三角形排布的典型磁力擺,基于對(duì)其全局動(dòng)力學(xué)行為的分析,研究初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制.首先,考慮磁鐵位置可以移動(dòng),利用牛頓第二定律建立該磁力擺動(dòng)力學(xué)模型.進(jìn)而,分析不同的磁鐵位置所對(duì)應(yīng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)及其穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上,數(shù)值模擬初值敏感性現(xiàn)象和不動(dòng)點(diǎn)吸引域隨磁鐵位置移動(dòng)的演變規(guī)律.最后,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該現(xiàn)象.研究發(fā)現(xiàn),該類(lèi)磁力擺普遍存在著多吸引子共存現(xiàn)象,其初值敏感性可歸因于其不動(dòng)點(diǎn)吸引域的分形,其中各不動(dòng)點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到磁鐵所在平面上位置并不重合,而存在微小的偏差;當(dāng)擺球位置可投影到三個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心時(shí),三個(gè)吸引子的吸引域尺寸相當(dāng),呈中心對(duì)稱(chēng)狀且分形,因此初值敏感性現(xiàn)象很明顯;而移動(dòng)磁鐵位置則會(huì)直接影響到各吸引域的形態(tài),即離擺球平衡位置投影點(diǎn)近的磁鐵對(duì)擺球影響最大:離該位置最近的吸引子吸引域會(huì)明顯變大,而其它吸引子的吸引域則會(huì)被侵蝕消減.本文的研究在磁力擺裝置設(shè)計(jì)方面具有一定的應(yīng)用價(jià)值。
關(guān)鍵詞：磁力擺,初值敏感性,多吸引子,分形吸引域
單擺是最簡(jiǎn)單的和最豐富的物理系統(tǒng)之一[1].其中典型磁力擺作為常見(jiàn)的物理實(shí)驗(yàn)裝置[2,3],通常由一個(gè)擺球和若干個(gè)的永磁鐵組成,擺球通過(guò)吊線(xiàn)固定,永磁鐵放置在底座上以磁力作用在擺球上[4,5].同時(shí),磁力擺系統(tǒng)也代表了一類(lèi)含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)之一,對(duì)含多共存吸引子現(xiàn)象的系統(tǒng)研究也是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.Marino等[6]通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究高精度光力學(xué)諧振器中由輻射壓力和光熱效應(yīng)引起的多時(shí)間尺度動(dòng)力學(xué),闡明該系統(tǒng)存在多共存吸引子現(xiàn)象.楊科利[7]研究了耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步轉(zhuǎn)換過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)行為。
動(dòng)力方向評(píng)職知識(shí)：動(dòng)力學(xué)論文發(fā)表的正規(guī)期刊
通過(guò)計(jì)算耦合不連續(xù)系統(tǒng)的同步序參量和最大李雅普諾夫指數(shù)隨耦合強(qiáng)度的變化,發(fā)現(xiàn)兩類(lèi)周期吸引子和同步吸引子同時(shí)存在,系統(tǒng)表現(xiàn)出對(duì)初值敏感的多共存吸引子現(xiàn)象.Zhang等[8]在Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入非理想磁通控制的憶阻器模型,構(gòu)造了一種具有多個(gè)雙渦卷吸引子的新型憶阻模型,利用理論分析和數(shù)值模擬觀察到該系統(tǒng)多共存吸引子現(xiàn)象.Lai等[9,10]提出一類(lèi)新的混沌系統(tǒng)。
利用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)闡明該類(lèi)系統(tǒng)具有無(wú)窮多的平衡點(diǎn)和多共存吸引子現(xiàn)象同時(shí),磁力擺代表了一類(lèi)具有非線(xiàn)性特性和不可預(yù)測(cè)性的有趣物理系統(tǒng),其表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象和背后的動(dòng)力學(xué)行為研究一直是學(xué)者們關(guān)注的熱點(diǎn).Sanz11通過(guò)將磁力擺系統(tǒng)的三個(gè)永磁鐵設(shè)計(jì)為電磁,并在電磁鐵放置基面上設(shè)置超聲波傳感器來(lái)測(cè)量擺球運(yùn)動(dòng)的位置,設(shè)計(jì)一種具有多變量、非線(xiàn)性和混沌過(guò)程控制的實(shí)驗(yàn)裝置,用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的相關(guān)控制研究.
Kraftmakher[12]設(shè)計(jì)一種將兩塊永磁鐵放置在一根薄的鋁棒上,并設(shè)置旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)傳感器組裝的磁控?cái)[實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)可用于研究非線(xiàn)性振蕩和混沌運(yùn)動(dòng),改變擺球的設(shè)計(jì)參數(shù)可以使實(shí)驗(yàn)適用范圍更廣.Wijata等[13]設(shè)計(jì)一種單擺在一定角度范圍內(nèi)擺動(dòng),下方放置在一塊永磁鐵的磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究該單磁擺單側(cè)振蕩具有不同的周期性.Motter等[14]對(duì)三個(gè)永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置進(jìn)行數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究,提出該磁力擺系統(tǒng)擺球不規(guī)則運(yùn)動(dòng)受瞬態(tài)混沌鞍[15]的瞬態(tài)相互作用的控制,認(rèn)為是瞬態(tài)混沌現(xiàn)象[1618].Khomeriki[19]通過(guò)設(shè)計(jì)一種具有磁力驅(qū)動(dòng)的阻尼驅(qū)動(dòng)擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng),通過(guò)數(shù)值模擬研究該系統(tǒng)參數(shù)共振和混沌的存在性及其相互關(guān)系.
同時(shí),對(duì)于磁力擺系統(tǒng)表現(xiàn)出來(lái)的有趣物理現(xiàn)象背后的動(dòng)力學(xué)行為,學(xué)者們同樣開(kāi)展了一些研究.D’Alessio20通過(guò)數(shù)值模擬研究三個(gè)永磁鐵呈等邊三角形排布的磁力擺裝置的擺球運(yùn)動(dòng)軌跡路線(xiàn),提出該系統(tǒng)對(duì)初始條件的敏感依賴(lài)性,是演示與“蝴蝶效應(yīng)”[21]相關(guān)聯(lián)和類(lèi)比天氣預(yù)測(cè)的一種簡(jiǎn)化系統(tǒng).Mann[22]通過(guò)一個(gè)橫向放置的單擺和兩個(gè)磁鐵組成的磁力擺實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)來(lái)研究其動(dòng)力學(xué)行為,對(duì)準(zhǔn)穩(wěn)態(tài)逃逸準(zhǔn)則進(jìn)行了拓展,得出一個(gè)平衡點(diǎn)的振蕩能克服相鄰的勢(shì)壘并逃逸到相鄰的吸引子的閾值準(zhǔn)則.James等[23]通過(guò)數(shù)值模擬研究四個(gè)永磁鐵呈正方形排布的磁力擺裝置系統(tǒng),得出該系統(tǒng)擺球復(fù)雜運(yùn)動(dòng)軌跡與分形有關(guān),并通過(guò)估計(jì)分形維數(shù)來(lái)研究擺球?qū)Τ跏紬l件的敏感性現(xiàn)象.
從目前的研究進(jìn)展來(lái)看,典型磁力擺系統(tǒng)存在初值敏感性行為是公認(rèn)的事實(shí),但是引起該現(xiàn)象機(jī)制的理解尚存在分歧:有些學(xué)者認(rèn)為該現(xiàn)象應(yīng)歸因于混沌或瞬態(tài)混沌,另外一些學(xué)者認(rèn)為該現(xiàn)象源于吸引域分形為此,本文考慮一類(lèi)磁鐵位置可調(diào)節(jié)的典型磁力擺系統(tǒng),分析其全局動(dòng)力學(xué)行為,特別是初值敏感性現(xiàn)象的機(jī)制.結(jié)構(gòu)安排如下:首先,對(duì)該類(lèi)磁力擺系統(tǒng)建模;第三節(jié),變換磁鐵位置,分析不同磁鐵分布情況下磁力擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù)和穩(wěn)定性;第四節(jié),數(shù)值模擬磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象;并在第五節(jié)通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該現(xiàn)象;最后,進(jìn)行總結(jié)2磁力擺動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型本文以一類(lèi)等邊三角形排布的磁力擺為研究對(duì)象,其中橫豎支桿作為吊接擺球裝置,小圓盤(pán)作為放置三個(gè)永磁鐵裝置,大圓盤(pán)設(shè)置有滑槽,配合小圓盤(pán)移動(dòng)永磁鐵位置,U形支座用于校驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置是否水平,磁力擺簡(jiǎn)化計(jì)算模型.
在建立磁力擺運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型方程之前,作出以下三點(diǎn)理想化假設(shè)[24](1)磁力擺吊線(xiàn)的長(zhǎng)度遠(yuǎn)遠(yuǎn)要比磁鐵間的距離長(zhǎng),因此,可以假定擺球是在平面上而不是在較大半徑的球面上運(yùn)動(dòng),即保持不變(2)磁鐵是一個(gè)吸引點(diǎn),位于磁鐵放置基底平面上,三個(gè)磁鐵在平面上呈等邊三角形放置,即ABACBC,且每個(gè)磁鐵中心位于等邊三角形頂點(diǎn)上(3)某個(gè)磁鐵作用在擺球上的力與兩者的距離的平方成反比
實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證本節(jié)將通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.傳統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法[24]是在磁鐵固定板上涂滿(mǎn)熒光劑,然后在擺球上安裝感光燈,會(huì)使熒光劑發(fā)光來(lái)跟蹤擺球運(yùn)動(dòng)軌跡,但熒光劑發(fā)光亮度會(huì)受到限制和發(fā)光時(shí)間也有限,得到的實(shí)驗(yàn)軌跡圖效果并不理想.
為此,本實(shí)驗(yàn)采用可調(diào)節(jié)亮度的LED微型信號(hào)燈位置粘貼在擺球與吊線(xiàn)連接處,尺寸2mm1mm,質(zhì)量2mg),用攝像機(jī)延時(shí)拍攝功能直接跟蹤擺球上燈光軌跡,從而來(lái)直觀記錄下擺球運(yùn)動(dòng)的軌跡驗(yàn)證初值敏感性現(xiàn)象.由于LED微型信號(hào)燈質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于擺球僅相當(dāng)于擺球質(zhì)量的04),因此忽略其質(zhì)量,并不定性影響該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.
根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)繕?biāo)準(zhǔn)備如下實(shí)驗(yàn)裝置器材:橫向支桿、豎向支桿、緊固支桿螺栓、豎向支桿底座、圓形透明有機(jī)玻璃座、三個(gè)扁平圓柱體釹鐵硼永磁鐵、帶孔擺球、吊線(xiàn)、兩根直徑為0.1mm細(xì)導(dǎo)線(xiàn)、一個(gè)220色環(huán)電阻、一個(gè)調(diào)節(jié)范圍為至550電位器、一個(gè)LED微型信號(hào)燈、5V電壓接線(xiàn)、5V電源、攝像機(jī)、三腳支架等. 為了讓攝像機(jī)能夠更好地進(jìn)行捕光工作,將整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置放置在較暗環(huán)境下;同時(shí),為減小實(shí)驗(yàn)效果誤差,將擺球吊線(xiàn)涂成黑色,從而避免反光影響攝像機(jī)捕捉擺球上光軌。
結(jié)論
本文基于對(duì)磁鐵位置可調(diào)節(jié)的典型磁力擺為研究對(duì)象,建立了無(wú)量綱化動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程;改變磁鐵位置,分析七組不同磁鐵位置下磁力擺系統(tǒng)的平衡點(diǎn)個(gè)數(shù),并判斷了每組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性;通過(guò)數(shù)值模擬研究磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象及其機(jī)制和不同磁鐵位置對(duì)應(yīng)的吸引域演變規(guī)律.最后,通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該磁力擺系統(tǒng)的初值敏感性現(xiàn)象.主要得到以下結(jié)論
(1)該磁力擺系統(tǒng)存在三個(gè)共存吸引子,初值敏感性現(xiàn)象歸因于不動(dòng)點(diǎn)吸引子的吸引域分形,而非混沌(2)每組穩(wěn)定的平衡點(diǎn)即不動(dòng)點(diǎn)位置與磁鐵中心投影到xy平面上位置并不重合,而存在微小的偏差,偏差與重力恢復(fù)力相關(guān)的彈性系數(shù)和擺球距磁鐵所在平面之間的最小距離這兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)有關(guān)。
(3)當(dāng)擺球可投影到三個(gè)磁鐵對(duì)應(yīng)的等邊三角形的形心位置時(shí),三個(gè)磁鐵吸引子的吸引域區(qū)域面積相當(dāng),呈中心對(duì)稱(chēng)狀且分形,初值敏感性現(xiàn)象很明顯。
(4)移動(dòng)磁鐵位置則會(huì)直接影響到三個(gè)磁鐵吸引子的吸引域形態(tài),即離擺球平衡位置投影點(diǎn)近的磁鐵對(duì)擺球影響最大,也就是離其最近的吸引子的吸引域會(huì)明顯變得越來(lái)越大,其它吸引子的吸引域則會(huì)被侵蝕消減。
作者：秦波尚慧琳†蔣慧敏
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