本文摘要：隨著經(jīng)濟(jì)研究越來(lái)越深入，采用數(shù)學(xué)工具來(lái)分析和解釋經(jīng)濟(jì)問(wèn)題已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究最重要的方法。這篇數(shù)學(xué)建模論文分析了構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法和步驟。尤其是最近幾年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展尤為迅速，開(kāi)發(fā)了很多數(shù)學(xué)運(yùn)用軟件，利用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)
隨著經(jīng)濟(jì)研究越來(lái)越深入，采用數(shù)學(xué)工具來(lái)分析和解釋經(jīng)濟(jì)問(wèn)題已經(jīng)成為了經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域研究最重要的方法。這篇數(shù)學(xué)建模論文分析了構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法和步驟。尤其是最近幾年來(lái)，計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展尤為迅速，開(kāi)發(fā)了很多數(shù)學(xué)運(yùn)用軟件，利用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題變得尤為高效，同時(shí)也提高了分析和解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的準(zhǔn)確性和真實(shí)性，為社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展做出了較大的貢獻(xiàn)。
《應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》它主要刊登國(guó)際、國(guó)內(nèi)應(yīng)用數(shù)學(xué)及相關(guān)領(lǐng)域有關(guān)理論、方法或應(yīng)用方面的研究論文，注重論文的創(chuàng)新性及學(xué)術(shù)水平。多年來(lái)，國(guó)內(nèi)所有的核心期刊評(píng)選機(jī)構(gòu)都將該刊列為核心期刊，《中國(guó)科學(xué)引文索引》將該刊作為數(shù)據(jù)庫(kù)來(lái)源期刊，國(guó)內(nèi)的《中國(guó)數(shù)學(xué)文摘》、《中國(guó)學(xué)術(shù)期刊文摘》和《中國(guó)科學(xué)技術(shù)期刊文摘數(shù)據(jù)庫(kù)》(CSTA)等都為該刊作文摘索引。國(guó)外數(shù)學(xué)領(lǐng)域有重要影響的數(shù)學(xué)文摘刊物，如美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的《數(shù)學(xué)評(píng)論》(MR)、俄羅斯的《數(shù)學(xué)文摘》、英國(guó)的《科學(xué)文摘》(SA)及德國(guó)的《數(shù)學(xué)文摘》等也都為該刊作文摘�，F(xiàn)在該刊上發(fā)表的文章已成為內(nèi)地及香港各大、專院校及科研機(jī)構(gòu)晉級(jí)、評(píng)獎(jiǎng)和評(píng)定職稱的重要依據(jù)。
摘 要：數(shù)學(xué)模型是經(jīng)濟(jì)研究過(guò)程中最為常見(jiàn)的分析工具，在很大程度上影響了經(jīng)濟(jì)研究人員看待問(wèn)題和分析問(wèn)題的角度和方法，使其能夠通過(guò)現(xiàn)象看到各種經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的本質(zhì)。文章基于數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵，結(jié)合經(jīng)濟(jì)研究現(xiàn)狀闡述了數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模及其重要性，并闡述了構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法，并通過(guò)相關(guān)案例展現(xiàn)了經(jīng)濟(jì)學(xué)與數(shù)學(xué)的完美結(jié)合。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型 基本內(nèi)涵 方法 步驟 案例
純粹的量的關(guān)系和形式是數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，將具體形象的實(shí)際內(nèi)容舍棄，只保留一般的數(shù)量關(guān)系，關(guān)注其抽象的共性，是數(shù)學(xué)研究的特征;反之，經(jīng)濟(jì)學(xué)及其他學(xué)科最為感興趣的是自己所抽象的公式(數(shù)學(xué)模型)能否說(shuō)明某一現(xiàn)象、解決相應(yīng)的問(wèn)題以及其使用的約束條件如何，這樣矛盾自然也同時(shí)存在兩者之間。然而在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中用數(shù)學(xué)方法能夠很好說(shuō)明某些現(xiàn)象或概括某些問(wèn)題卻是不爭(zhēng)的事實(shí)，因此在經(jīng)濟(jì)學(xué)中使用數(shù)學(xué)的關(guān)鍵問(wèn)題僅僅在于其實(shí)踐性或適用性方面? 譹?訛。建立數(shù)學(xué)模型能夠研究變量之間的關(guān)系，探究事務(wù)變化的規(guī)律，用可控變量計(jì)算出必要的結(jié)論，進(jìn)而總結(jié)出理論假說(shuō)，這便是數(shù)學(xué)模式在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中的運(yùn)用。如今經(jīng)濟(jì)學(xué)已經(jīng)成為了一門高度數(shù)學(xué)化的社會(huì)科學(xué)類學(xué)科，數(shù)學(xué)成為經(jīng)濟(jì)模型建立和推導(dǎo)的主要工具，很多數(shù)學(xué)的重大研究已經(jīng)運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中�，F(xiàn)在這兩者矛盾爭(zhēng)論的焦點(diǎn)不再是經(jīng)濟(jì)學(xué)需不需要使用數(shù)學(xué)方法，而是怎樣在經(jīng)濟(jì)研究中使用數(shù)學(xué)方法的問(wèn)題。雖然現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)在研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題方面已經(jīng)獲得了較好的成效，但是對(duì)于經(jīng)濟(jì)學(xué)而言某些數(shù)學(xué)模式是否能夠運(yùn)用其中，或者如何更好地運(yùn)用其研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題仍需要進(jìn)一步探究。
一、數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)涵
數(shù)學(xué)模型是采用有關(guān)數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)學(xué)研究中的各種問(wèn)題的一種整體概述和表述。其一般是為了解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)某個(gè)特定對(duì)象提出必要的條件和假設(shè)，使用數(shù)學(xué)圖形、數(shù)學(xué)關(guān)系式、圖表等數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語(yǔ)以及合理的數(shù)學(xué)方法和手段獲取的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的形式豐富多彩，其能夠是一種算法語(yǔ)言，可以是一個(gè)數(shù)學(xué)圖表，也可以是幾種結(jié)構(gòu)的混合。將數(shù)學(xué)領(lǐng)域的具體問(wèn)題抽象和簡(jiǎn)化為數(shù)學(xué)模型即是數(shù)學(xué)建模，其包含提出問(wèn)題、簡(jiǎn)化問(wèn)題、模型建立、模型驗(yàn)證、模型修改、模型使用等多方面內(nèi)容?譺?訛。
在經(jīng)濟(jì)研究中引進(jìn)數(shù)學(xué)工具進(jìn)行解析，把復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題用精練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言予以表達(dá)，從而把經(jīng)濟(jì)中相互影響的因素建立起具有邏輯性的相互聯(lián)系，然后通過(guò)計(jì)算找出其內(nèi)在的規(guī)律性及其具體數(shù)量，這樣的數(shù)學(xué)表達(dá)式(函數(shù)式)就稱為經(jīng)濟(jì)模型，或經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型。
二、數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模及其重要性
數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模是對(duì)客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象進(jìn)行總體概述，并采用模型方式體現(xiàn)各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中各個(gè)要素間的相互數(shù)量關(guān)系，是經(jīng)濟(jì)研究中比較重要的方法。其本質(zhì)就是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題用數(shù)字、字母和其他數(shù)學(xué)符號(hào)形成的不等式、或等式以及圖像、圖表、框圖等數(shù)學(xué)語(yǔ)言簡(jiǎn)化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決各類實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型是十分關(guān)鍵的一步，同時(shí)也是十分困難的一步。無(wú)論是建立數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型，還是運(yùn)用模型對(duì)有關(guān)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題進(jìn)行定量研究分析，都需要豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，比如數(shù)學(xué)中的線性代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、常微分方程、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)等知識(shí)就必不可少。然而縱觀現(xiàn)展史得知，經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度與數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模具有緊密的聯(lián)系。在經(jīng)濟(jì)決策定量化、科學(xué)化呼聲越來(lái)越高漲的今天，數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)建模已經(jīng)廣泛運(yùn)用于各個(gè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)之中。比如，漢森、希克斯兩位經(jīng)濟(jì)學(xué)家用IS—LM模型對(duì)凱恩斯的有效需求理論進(jìn)行了較為完善的闡述，不僅如此，凱恩斯主義的經(jīng)濟(jì)政策即財(cái)政政策和貨幣政策的分析，也是圈繞IS—LM模型而展開(kāi)的。因此，IS—LM模型是凱恩斯主義宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)有機(jī)結(jié)合的經(jīng)典之作。再比如，在實(shí)際生產(chǎn)、營(yíng)銷中，生產(chǎn)商可以按照客戶提出的產(chǎn)品質(zhì)量、數(shù)量、交貨期、交付地點(diǎn)、交付方式等需求，運(yùn)用快速報(bào)價(jià)系統(tǒng)(按照生產(chǎn)商各種資源、生產(chǎn)成本、產(chǎn)品生產(chǎn)流程以及客戶要求等數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)模型)與客戶進(jìn)行直接交流和溝通。
三、構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的方法和步驟
數(shù)學(xué)模型廣泛運(yùn)用在經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域中，包括政策評(píng)價(jià)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)、結(jié)構(gòu)分析等多方面。經(jīng)濟(jì)政策評(píng)價(jià)包括理論分析和實(shí)踐分析兩個(gè)方面。理論分析包括研究分析、評(píng)價(jià)政策的效果，并對(duì)不合理的部分進(jìn)行修改補(bǔ)充，以更加符合經(jīng)濟(jì)規(guī)律的要求。實(shí)踐分析主要是分析政策所產(chǎn)生的政治的、經(jīng)濟(jì)的、社會(huì)的實(shí)際效果，并對(duì)原政策方案進(jìn)行檢驗(yàn)、修改、完善。在進(jìn)行政策目標(biāo)評(píng)價(jià)時(shí)，通過(guò)對(duì)相互矛盾的目標(biāo)進(jìn)行綜合分析，制定出這些目標(biāo)在一定條件下能相互協(xié)調(diào)的宏觀經(jīng)濟(jì)政策和微觀經(jīng)濟(jì)政策，其使用的研究分析方法有IS—LM模型、脈沖響應(yīng)函數(shù)、方差分解等;經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)是在對(duì)一定時(shí)期的客觀經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程進(jìn)行深入調(diào)查的基礎(chǔ)上，運(yùn)用各種科學(xué)的方法，對(duì)掌握的經(jīng)濟(jì)信息加以分析研究后，并評(píng)估和預(yù)測(cè)未來(lái)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)發(fā)展?fàn)顩r及變化趨勢(shì)，其使用的研究分析方法有時(shí)間數(shù)列法、指標(biāo)分析法、因素分析法等;結(jié)構(gòu)分析是經(jīng)濟(jì)研究的重要內(nèi)容，它是對(duì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象中各種變量之間的關(guān)系進(jìn)行全面研究，是當(dāng)一個(gè)變量或幾個(gè)變量出現(xiàn)變化時(shí)，是否會(huì)對(duì)其他變量以及經(jīng)濟(jì)體系產(chǎn)生影響所進(jìn)行研究分析。其使用的研究分析方法有乘數(shù)分析、彈性分析以及比較靜力分析等。
一般而言，針對(duì)經(jīng)濟(jì)研究問(wèn)題，建立一個(gè)科學(xué)合理的數(shù)學(xué)模型主要包括以下步驟：(1)全方位了解各種實(shí)際問(wèn)題和與問(wèn)題相關(guān)的其他各種知識(shí); (2)按照研究的目標(biāo)和任務(wù)，針對(duì)研究的現(xiàn)象進(jìn)行全方位、多層次的調(diào)查研究，盡可能獲得更多的數(shù)據(jù)信息，并對(duì)各項(xiàng)數(shù)據(jù)進(jìn)行正確分組;(3)把研究的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化，確定模型中各種影響因素，并分析出重要因素，使用參數(shù)和數(shù)量來(lái)表達(dá)這些因素。采用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)描繪問(wèn)題中變量參數(shù)之間的聯(lián)系，初步形成數(shù)學(xué)關(guān)系式?譻?訛;(4)進(jìn)一步簡(jiǎn)化、合并數(shù)學(xué)關(guān)系，最后構(gòu)建成數(shù)學(xué)模型;(5)運(yùn)用總結(jié)分析得出的數(shù)據(jù)，使用有關(guān)數(shù)學(xué)方式計(jì)算出所建立的模型中參數(shù)的估計(jì)值，進(jìn)而明確模型;(6)偏差分析所確定的模型闡述，將模型結(jié)論與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，以驗(yàn)證模型是否跟實(shí)際問(wèn)題相符合。如果相差甚遠(yuǎn)，就必須進(jìn)一步調(diào)整修改模型，在按照以上程序再進(jìn)行一次，直到構(gòu)建完成的模型符合實(shí)際問(wèn)題。
四、數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)研究中的應(yīng)用舉例
本文以彈性分析和線性規(guī)劃為例，體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)研究過(guò)程中的重大作用。
案例1：彈性分析模型。彈性是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，為相對(duì)變化率，即是相互依存的一個(gè)變量對(duì)另外一個(gè)變量變化所表現(xiàn)出來(lái)的反應(yīng)程度。
彈性的數(shù)學(xué)含義是自變量變化1%所引起因變量變化的百分?jǐn)?shù)。由比例學(xué)分析得知，彈性是一種不借助其他任何單位的計(jì)量方法，即是無(wú)量綱的。把彈性理論用于經(jīng)濟(jì)研究領(lǐng)域，能夠?yàn)榻?jīng)濟(jì)研究提供有效的方法。需求價(jià)格彈性就是數(shù)學(xué)彈性分析模型運(yùn)用于經(jīng)濟(jì)研究中具體體現(xiàn)。
E1(100)=-2，彈性系數(shù)為2。
經(jīng)濟(jì)含義為：當(dāng)價(jià)格是100元時(shí)，如果價(jià)格提升1%，則需求量將會(huì)降低2%。進(jìn)一步講，因彈性系數(shù)大于1，即需求量的變化率大于價(jià)格的變化率，故需求量對(duì)于價(jià)格的變化率是比較敏感的，也稱需求富有彈性或高彈性。
案例2：0-1線性規(guī)劃模型。它是為解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題的所謂分派一類問(wèn)題而產(chǎn)生的，下面舉例說(shuō)明其數(shù)學(xué)模型是如何建立的。
某企業(yè)計(jì)劃招收m個(gè)崗位，人力資源管理部門需要從n個(gè)應(yīng)聘者中招收m個(gè)工作人員(n≥m)。企業(yè)規(guī)定每個(gè)崗位只需要一名工作人員，工作人員只需要專職做一件工作，通過(guò)測(cè)試，第i個(gè)工作人員做j件工作的效率為Cij，問(wèn)應(yīng)該招收哪些人員，怎樣分配工作才能獲得最佳的效益。
解答：設(shè)xij=1代表第i個(gè)應(yīng)聘人員只做第j件工作，xij=0代表第i個(gè)應(yīng)聘人員不做第j件工作(i=1，2，3.....;j=1，2，3，.....)，然后其線性規(guī)劃模型為：
上述模型中，由于決策變量取值只是0或者1，因此該模型為0—1規(guī)劃，是整數(shù)規(guī)劃的特例。
此外，數(shù)學(xué)模型運(yùn)用到經(jīng)濟(jì)研究過(guò)程中的案例較多，比如運(yùn)用概率分布構(gòu)建預(yù)期收益模型、運(yùn)用微分方程構(gòu)建經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型、運(yùn)用微積分構(gòu)建最優(yōu)化價(jià)格模型、利用期望值法解決a風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題、運(yùn)用Shapley值法建立收益合理分配模型等。
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